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線型代数学における基底（きてい、）は、線型独立なベクトルから成る集合で、そのベクトルの（有限個の）線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う。もう少し緩やかな言い方をすれば、基底は（基底ベクトルに決まった順番が与えられたものとして）「座標系」を定めるようなベクトルの集合である〔Halmos, Paul Richard (1987) ''Finite-dimensional vector spaces'' (4th edition) Springer-Verlag, New York, page 10 , ISBN 0-387-90093-4〕。硬い表現で言うならば、基底とは線型独立な生成系のことである。 ベクトル空間に基底が与えられれば、その空間の元は必ず基底ベクトルの線型結合としてただ一通りに表すことができる。全てのベクトル空間は必ず基底を持つ（ただし、無限次元ベクトル空間に対しては、一般には選択公理が必要である）。また、一つのベクトル空間が有するどの基底も、必ず同じ決まった個数（濃度）のベクトルからなる。この決まった数を、そのベクトル空間の次元と呼ぶ。 == 定義 == （実数全体 R や複素数全体 C のような）体 F 上の線型空間 ''V'' の基底 ''B'' とは、''V'' の線型独立な部分集合で、''V'' を張る（生成するものを言う。より具体的には、''B'' = をベクトル空間 ''V'' の有限部分集合とするとき、''B'' が基底であるとは、条件として ; 線型独立性: ''a''1, …, ''a''''n'' ∈ F に対して ''a''1''v''1 + … + ''a''''n''''v''''n'' = 0 が成り立つならば、''a''1 = … = ''a''''n'' = 0 でなければならない。 ; 全域性: ''V'' のどんな元 ''x'' も、適当な ''a''1, …, ''a''''n'' ∈ F を選んで ''x'' = ''a''1''v''1 + … + ''a''''n''''v''''n'' が成り立つようにできる。 を何れも満足することを言う。最後の等式における係数 ''a''''i'' は基底 ''B'' に関する ''x'' の座標と呼ばれ、線型独立性により座標は一意的に定まることが分かる。 ベクトル空間が有限な基底を持つとき、有限次元であるという。無限次元空間を扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。すなわち、（有限または無限の）部分集合 ''B'' ⊂ ''V'' が基底であるとは、 * 任意の有限部分集合 ''B''0 ⊆ ''B'' が既に述べた意味で線型独立性を持つ。 * 各 ''x'' ∈ ''V'' に対して、適当な有限個のスカラー ''a''1, …, ''a''''n'' ∈ F とベクトル ''v''1, …, ''v''''n'' ∈ ''B'' を選んで ''x'' = ''a''1''v''1 + … + ''a''''n''''v''''n'' と表すことができる（''n'' は ''x'' ごとに違ってよい）。 の二条件を満たすことを言う。最後の式の和は必ず有限和であることに注意。これは、代数的なベクトル空間の公理だけからは（適当な構造を追加しない限り）極限操作に関する議論が展開できず、無限和に意味を持たせることができないことによるものである。無限和の場合を許した、別な種類の基底の概念が定義される場合については後述。 基底ベクトルを特定の「順序」で並べることが便利なことがよくある（例えば、線型写像の基底に関する変換行列を考える場合など）。そこで、基底を ''V'' を張る線型独立なベクトルの（集合と考える代わりに）列（あるいは ''n''-組）と見た、順序付けられた基底 (''ordered basis'') がしばしば用いられる（短く「順序基底」や「順序付き基底」などともいう）。これについても後述。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「基底 (線型代数学)」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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